Números reales
Números naturales
En matemáticas, un número natural es cualquier número que usamos para contar los elementos de un conjunto. Los números naturales forman el conjunto \(\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, 4, \dots \}\), y este conjunto es infinito y tiene un orden. Es decir, si tomamos dos números naturales consecutivos, el que está a la derecha se llama el siguiente o sucesivo.
Números enteros
Los números enteros son los números que sirven tanto para contar como para expresar deudas, pérdidas o déficits enteros.
Se escribe \(\mathbb{Z} = \{ \dots, -3,-2,-1,0,1,2,3, \dots \}\).
Podemos ver aquí que \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}\).
Números racionales
Los números racionales son los números que puedes escribir como una cantidad de unidades completas de un todo que se pueden compartir o repartir de manera exacta. Es decir, describen cuántas partes de una unidad puedes tener, y esas partes son siempre cantidades que tienen una relación exacta entre sí.
Por ejemplo, un pastel puede ser repartido en 4 partes iguales.
Más precisamente, los números racionales son los números que se pueden representar como cociente de dos enteros siempre que este cociente tenga sentido.
Los números racionales se denotan por el conjunto:
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\(\mathbb{Q} = \{\frac{a}{b}/ a, b \in \mathbb{Z}, b \not = 0\}\) |
Entre ejemplos de este conjunto, tenemos \(\frac{3}{2}\), \(-\frac{1}{4}\), \(\frac{2}{1}\), \(\frac{-3}{5}\), \(\frac{5}{-2}\).
Fijémosnos en el tercer número \(\frac{2}{1}\).
Sabemos que \(\frac{2}{1}=2\), de modo que \(2 \in \mathbb{Q}\). Lo mismo pasa con los números enteros: Todo número entero es un número racional.
Los números racionales tienen una particularidad en cuanto a su expresión decimal:
Expresiones decimales finitas:
Son las expresiones decimales que terminan en una cifra, como por ejemplo \(2\), \(3.54\) y \(-15.4568\).
Expresiones decimales infinitas periódicas puras:
Son las expresiones decimales que comienzan a repetir una o varias cifras de forma periódica, como por ejemplo \(\frac{31}{9} = 3,444444...\), \(\frac{28}{11} = 2,54545454...\) y \(\frac{152}{333} = 0,456456456456...\).
Para evitar escribir los números repetidos, usamos una barra o un acento sobre la parte decimal que se repite. Por ejemplo, los números anteriores se escriben así: \( 3.\overline{4} \); \( 2.\overline{54} \) y \( 3.\overline{456} \).
Expresiones decimales infinitas periódicas mixtas:
Son las expresiones decimales que después de la coma en principio hay números que no se repiten y después números que se repiten periódicamente, como por ejemplo \( \frac{211}{90} = 2.3\overline{4} \); \( \frac{5759}{1100} = 5.23\overline{54} \) y \( \frac{1077629}{333000} = 3.236\overline{123} \).
Con todo lo visto anteriormente, podemos concluir que \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}\).
Números irracionales
Los número irracionales son los números cuya expresión decimal es infinita no periódica. Entre ejemplos tenemos \(\pi=3.1415...\), \(\sqrt{2}=1.4142...\), \(e=1.71828...\), \(\phi = 1.61803...\).
Estos números irracionales son importantes en las ciencias, debido, entre otras cosas, a las siguientes razones:
El conjunto de los números irracionales es:
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\(\mathbb{I} = \{x: x \quad \text{es una expresión decimal no periódica} \}\) |
Números reales
El conjunto de los números reales es la unión del conjunto de los números racionales y el conjunto de los números irracionales, es decir:
|
\(\mathbb{R} = \mathbb{R} \cup \mathbb{I}\) |
La representación de los números reales es una recta continua en la que están incluidos tanto los números racionales como los irracionales:
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