Operaciones sobre los números reales y propiedades

Operaciones sobre los números reales y propiedades.

Operaciones sobre \(\mathbb{R}\)

Sobre el conjunto de los números reales están definidas dos operaciones, llamadas adición (\(+\)) y multiplicación (\(\cdot\)) que verifican las siguientes propiedades:

Sean \(x,y,z \in \mathbb{R}\):

1. Clausura aditiva:

\(x+y \in \mathbb{R}\)

Ejemplo:

\(\phi + e \in \mathbb{R}\).

2. Propiedad asociativa:

\((x+y)+z = x+(y+z)\)

Ejemplo:

\( \displaystyle \left( 1+\frac{3}{5} \right)+\frac{\sqrt{2}}{2} = 1+\left( \frac{3}{5}+\frac{\sqrt{2}}{2} \right) \).

3. Propiedad conmutativa:

\(x+y = y+x\)

Ejemplo:

\( \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{3} = \frac{\sqrt{2}}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} \).

4. Elemento neutro:

Existe \(0 \in \mathbb{R}\) tal que \(x+0=x\)

Ejemplo:

\( \pi + 0 = \pi \).

5. Opuesto aditivo:

Para cada \(x\) existe \(-x\) tal que \(x+(-x)=0\)

Ejemplo:

\( \pi + (-\pi) = 0 \).

6. Clausura multiplicativa:

\(x \cdot y \in \mathbb{R}\)

Ejemplo:

\( \displaystyle \frac{\pi}{e} \cdot \frac{\phi}{2} \in \mathbb{R} \).

7. Propiedad asociativa:

\((x \cdot y) \cdot z = x \cdot (y \cdot z)\)

Ejemplo:

\( \displaystyle \left( 1 \cdot \frac{3}{5} \right)\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} = 1 \cdot \left( \frac{3}{5} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \).

8. Elemento identidad:

Existe \(1 \in \mathbb{R}\) tal que \(x \cdot 1 = x\)

Ejemplo:

\( \displaystyle 1 \cdot \frac{2}{\sqrt{\pi}} = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \).

9. Inverso multiplicativo:

Si \(x \not = 0\), existe \(x^{-1}\) tal que \(x \cdot x^{-1} = 1\)

Ejemplo:

\( \displaystyle \pi \cdot \pi^{-1} = \pi \cdot \frac{1}{\pi} = 1 \)

10. Propiedad distributiva:

\(x \cdot (y+z)=x \cdot y + x \cdot z\)

Ejemplo:

\( \displaystyle 2 \cdot (\sqrt{3} + \sqrt{5}) = 2 \cdot \sqrt{3} + 2 \cdot \sqrt{5}\).

Todas estas propiedades dotan a \((\mathbb{R},+,\cdot)\) de una estructura de cuerpo, o campo, llamado, cuerpo de los números reales o campo de los números reales.

Propiedades derivadas

Teorema 1:

Ley de cancelación aditiva:

\(\forall x, y, z \in \mathbb{R}\) se verifica que:

\( x=y \Leftrightarrow x+z=y+z\)

Demostración:

Supongamos que \( x=y \), entonces:

\( x+z=y+z \quad \text{sustituimos}\) \(x\) por \(y\).

Supongamos ahora que \( x+z=y+z \).

\(x=x+0 \quad \quad \quad \quad \quad \text{Elemento neutro}\)
\( \quad =x+(z+(-z)) \quad \text{Elementos opuestos}\)
\( \quad =(x+z)+(-z) \quad \text{Propiedad asociativa}\)
\( \quad =(y+z)+(-z) \quad \text{Hipótesis}\)
\( \quad =y+(z+(-z)) \quad \text{Propiedad asociativa}\)
\( \quad =y+0 \quad \quad \quad \quad \quad \text{Opuesto aditivo}\)
\( \quad =y \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \text{Elemento neutro}\)

Ejemplo:

Esta propiedad nos garantiza el despeje como en \(x+2=3\), ya que podemos sumar \(-2\) a ambos miembros y nos queda:

\(x+2=3 \Leftrightarrow (x+2) + (-2) = 3 + (-2) \Leftrightarrow x = 1 \).

Teorema 2:

Unicidad del neutro aditivo:

El \(0\) es el único número con la propiedad de que \(x+0=x\), \(\forall x \in \mathbb{R}\):

Demostración:

Supongamos que existe \(e \in \mathbb{R}\) tal que \(x+e=x\), \(\forall x \in \mathbb{R}\):

Aplicando elemento neutro a la derecha de la ecuación \(x+e=x\), tenemos:

\(x+e=x+0\)

Por la ley de cancelación (teorema 1), tenemos:

\(e=0\)

De modo que el elemento neutro con esa propiedad es único.

Ejemplo:

\(\phi + 0 = \phi\).

Teorema 3:

Ley de cancelación multiplicativa:

\(\forall x, y, z \in \mathbb{R}\) y \(z \not = 0\), se verifica que \(x=y\) si y solo si \(xz=yz\).

Demostración:

Supongamos que \( x=y \), entonces:

\( xz=yz \quad \text{sustituimos}\) \(x\) por \(y\)

Supongamos ahora que \( xz=yz \).

\(x=x \cdot 1 \quad \quad \quad \quad \text{Elemento identidad}\)
\( \quad =x(zz^{-1})) \quad \text{Inverso multiplicativo}\)
\( \quad =(xz)z^{-1} \quad \quad \text{Propiedad asociativa}\)
\( \quad =(yz)z^{-1} \quad \quad \text{Hipótesis}\)
\( \quad =y(zz^{-1})) \quad \text{Propiedad asociativa}\)
\( \quad =y \cdot 1 \quad \quad \quad \quad \text{Inverso multiplicativo}\)
\( \quad =y \quad \quad \quad \quad \quad \text{Elemento identidad}\)

Ejemplo:

\( \displaystyle 2x = 6 \Leftrightarrow \frac{1}{2} \cdot 2x = \frac{1}{2} \cdot 6 \Leftrightarrow x = 3\).

Teorema 4:

Elemento absorbente:

\(\forall x \in \mathbb{R}\), se tiene que \(x \cdot 0 = 0\).

Demostración:

\(x \cdot 0 = x \cdot (0+0)\)
\(\quad \quad = x \cdot 0 + x \cdot 0 \)

Así que tenemos la igualdad:

\(x \cdot 0 = x \cdot 0 + x \cdot 0\)

Por la ley de cancelación, podemos escribir:

\(x \cdot 0 + (-x \cdot 0)= (x \cdot 0 + x \cdot 0) + (-x \cdot 0)\)

Por opuestos aditivos a la izquierda y propiedad asociativa a la derecha, tenemos:

\(0 = x \cdot 0 + (x \cdot 0 + (-x \cdot 0))\)

Por opuestos aditivos a la derecha, tenemos:

\(0 = x \cdot 0 + 0\)

Por elemento neutro, tenemos:

\(0 = x \cdot 0\)

Ejemplo:

\( \sqrt{2} \cdot 0 = 0\).

Teorema 5:

Producto 0:

Sean \(a,b \in \mathbb{R}\). \(ab=0\) si y solo si \(a=0\) o \(b=0\).

Demostración:

Supongamos que \(a=0\) o \(b=0\). Es claro que \(ab=0\).

Supongamos que \(a \not =0\).

Por inverso multiplicativo, \(a^{-1} \not = 0\) existe y \(aa^{-1} = 1\).

Por la ley de cancelación multiplicativa tenemos:

\(ab=0 \Leftrightarrow a^{-1}(ab) = a^{-1} \cdot 0\)

Aplicando propiedad asociativa a la izquierda y elemento absorbente a la derecha (Teorema 4), tenemos:

\((a^{-1}a)b = 0\)

Aplicando inverso multiplicativo a la izquierda, tenemos:

\(1 \cdot b = 0\)

Aplicando elemento neutro a la izquierda, tenemos:

\(b = 0\)

Lo mismo pasará si suponemos que \(b \not = 0\).

Ejemplo:

\(\sqrt{3} \cdot 0 = 0\)

Teorema 6:

Unicidad del elemento absorbente:

El \(0\), con la propiedad de que \(\forall x \in \mathbb{R}\), \(x \cdot 0 = 0\), es único.

Demostración:

Supongamos que existe \(e \in \mathbb{R}\) tal que \(\forall x \in \mathbb{R}\), \(x \cdot e = 0\).

Si \(x=0\), \(e\) puede tener cualquier valor, incluyendo el \(0\), ya que de cualquier forma sería \(x \cdot e = 0 \cdot e = 0\).

Supongamos que \(x \not =0\). Entonces, por el inverso multiplicativo, tenemos que existe \(x^{-1} \not = 0\) tal que \(x \cdot x^{-1} = 1 \).

Por la ley de cancelación multiplicativa, podemos escribir:

\(x \cdot e = 0 \Leftrightarrow x^{-1} \cdot (x \cdot e) = x^{-1} \cdot 0 \)

Aplicando a la izquierda la propiedad asociativa y a la derecha el elemento absorbente (Teorema 4), tenemos:

\((x^{-1} \cdot x) \cdot e = 0 \)

Aplicando a la izquierda inversos multiplicativos, tenemos:

\(1 \cdot e = 0 \)

Aplicando a la izquierda elemento identidad, tenemos:

\(e = 0 \)

De modo que el \(0\) con esa propiedad es único.

Teorema 7:

Unicidad del inverso multiplicativo:

Si \(x \not = 0\), existe un único \(y \in \mathbb{R}\) tal que \(xy = 1\).

Demostración:

Supongamos que \(x \not = 0\), luego, por el inverso multiplicativo, tenemos que existe \(x^{-1} \in \mathbb{R}\) tal que \(xx^{-1} = 1\).

Además, si \(xy = 1\), tenemos, por la ley de cancelación multiplicativa, que \(x^{-1}(xy) = x^{-1} \cdot 1\)

Aplicando asociatividad a la izquierda y elemento identidad a la derecha, tenemos que:

\((x^{-1}x)y = x^{-1}\)

Aplicando inversos a la izquierda tenemos que:

\(1 \cdot y = x^{-1}\)

Aplicando identidad a la izquierda, tenemos:

\( y = x^{-1}\)

En conclusión el elemento \(y\) del enunciado, necesariamente es el elemento inverso dado en el axioma de inverso multiplicativo, no hay otro.

Teorema 8:

El opuesto aditivo es único:

Demostración:

Sea \(a,b \in \mathbb{R}\) y supongamos que \(a+b=0\).

Si sumamos a la izquierda y a la derecha \(-a\) por la izquierda, tenemos:

\((-a) + (a+b) = (-a) + 0\)

Aplicando asociatividad y opuesto aditivo a la izquierda y elemento neutro aditivo a la derecha, tenemos:

\(0 + b = -a\)

Aplicando neutro aditivo a la izquierda, tenemos:

\(b=-a\)

De modo que el \(b\) del enunciado es el mismo de la propiedad del opuesto aditivo, no hay otro.

Teorema 9:

\(\forall a \in \mathbb{R}\), \((-1)a = -a\):

Demostración:

El enunciado indica que el número \((-1)a\) es el opuesto aditivo de \(a\), así que debemos demostrar que este número es tal que:

\(a+(-1)a = 0\)

Por el elemento identidad, tenemos que:

\(1 \cdot a+(-1)a = 0\)

Por la propiedad distributiva, tenemos:

\(a+(-1)a = (1 +(-1))a\)

Ahora, \(1\) y \(-1\) son opuestos entre sí, de modo que \(1+(-1)=0\), de donde se desprende que:

\(a+(-1)a = 0\)

Por el Teorema 8, tenemos que el opuesto aditivo es único, así que \((-1)a = -a\).

Teorema 10:

\((-1)^2=1\):

Demostración:

Por definición de cuadrado, \((-1)^2=(-1)(-1)\).

Ahora bien. Por el teorema 9, \((-1)(-1)=-(-1)\) y como \(-(-1)\) es el opuesto aditivo de \(-1\) y también \(1\) es opuesto a \(-1\) y además el teorema 8 nos dice que el opuesto aditivo es único, tenemos que:

\((-1)^2=(-1)(-1)=-(-1)=1\)

Teorema 11:

Para todo \(a,b \in \mathbb{R}\), \((-a)(-b)=ab\).

Demostración:

Aplicando el teorema 9 a \((-a)\), tenemos:

\((-a)(-b) = [(-1)a](-b)\)

Aplicando asociatividad a la derecha, tenemos:

\((-a)(-b) = (-1)[a(-b)]\)

Aplicando conmutatividad a la derecha, tenemos:

\((-a)(-b) = (-1)[(-b)a]\)

Aplicando asociatividad a la derecha, tenemos:

\((-a)(-b) = [(-1)(-b)]a\)

Aplicando el teorema 9 a (\(-b\)) en la derecha, tenemos:

\((-a)(-b) = [(-1)((-1)b)]a\)

Aplicando asociatividad a la derecha, tenemos:

\((-a)(-b) = [((-1)(-1))b]a\)

Por el teorema 10, tenemos:

\((-a)(-b) = [1 \cdot b]a\)

Por identidad, tenemos:

\((-a)(-b) = ba\)

Por conmutatividad, tenemos:

\((-a)(-b) = ab\)

Teorema 12:

Para todo \(a,b \in \mathbb{R}\), \((-a)b=a(-b)=-(ab)\).

Demostración:

Demostremos primero que \((-a)b=a(-b)\)

Por el teorema 11 tenemos:

\((-a)(-b)=ab\)

Multiplicando por \(-1\) a la derecha a ambos miembros y asociando tenemos:

\((-a)[(-b)(-1)]=a[b(-1)]\)

Por la propiedad conmutativa y el teorema 9, tenemos:

\((-a)[-(-b)]=a(-b)\)

Como ya vimos anteriormente el opuesto del opuesto de un número es el mismo número. De aquí que:

\((-a)b=a(-b)\)

Ahora, usando la misma igualdad del teorema 11, multiplicamos por la izquierda por \(-1\) y nos queda:

\((-1)[(-a)(-b)]=(-1)(ab)\)

En la izquierda, asociamos y aplicamos el teorema 9. En la derecha aplicamos directamente el teorema 9 y nos queda:

\((-(-a))(-b)=-(ab)\)

Vimos anteriormente que el opuesto del opuesto de un número es el mismo número. De ello se desprende que:

\(a(-b)=-(ab)\)

Juntando todas las igualdades obtenidas, se deduce que:

\((-a)b=a(-b)=-(ab)\)

Teorema 13:

\(-(-a)=a\).

Demostración:

Es claro que \(-(-a)\) es un opuesto aditivo de \(-a\), pero también \(a\) es un opuesto aditivo de \(-a\). Por el teorema 8, el opuesto aditivo es único, de modo que \(-(-a)=a\).

Teorema 14:

\((a^{-1})^{-1}=a\), si \(a \not = 0\).

Demostración:

Como \(a \not = 0\), el inverso de \(a\) existe. Es claro que \((a^{-1})^{-1}\) es un inverso multiplicativo de \(a^{-1}\), pero también \(a\) es un inverso multiplicativo de \(a^{-1}\). Por el teorema 7, el inverso multiplicativo es único, de modo que \((a^{-1})^{-1}=a\).

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