Nociones elementales

Números reales.

Conjuntos

Un conjunto es una colección bien definida de objetos llamados elementos o miembros del conjunto. Los elementos de un conjunto pueden ser cualquier tipo de objeto, como números, puntos, letras, nombres, etc. Lo importante es que un conjunto está formado por elementos que cumplen una propiedad común y se considera bien definido si se puede decidir sin ambigüedad si un objeto pertenece o no al conjunto.

Los elementos que pertenecen a un conjunto se escriben entre llaves \(\{\}\), y cada uno de estos elementos se separa por comas.

Por ejemplo: \[A=\{1,2,3,4,5\}\]

En este caso, \(A\) es el conjunto que contiene losn números \(1, 2, 3, 4, 5\).

Pertenencia y no pertenecia

Cuando un objeto \(x\) pertenece a un conjunto \(A\), escribimos \(x \in A\) y se lee "x pertenece a A" y cuando no pertenece, escribimos \(x \notin A\).

Por ejemplo, para el conjunto anterior, tenemos \(3 \in A\), pero \(6 \notin A\).

Subconjunto de

Cuando todos los elementos de un conjunto \(A\) también son elementos de un conjunto \(B\), escribimos \(A \subseteq B\).

Por ejemplo, si \(A = \{a, b, c, d, e \}\) y \(B = \{a, b, c, d, e, f, g \}\), entonces \(A \subseteq B\).

Si queremos indicar que todos los elementos de \(A\) es subconjunto de \(B\), pero no son iguales, escribimos \(A \subset B\).

Unión e intersección de conjuntos

Dados dos conjuntos \(A\) y \(B\), la unión de \(A\) con \(B\), denotada por \(A \cup B\), es el conjunto:

\(A \cup B = \{x: x \in A \quad \text{o} \quad x \in B\}\)

Es decir, la unión de \(A\) y \(B\) es el conjunto formado por los elementos que están en \(A\), en \(B\) o en ambos conjuntos.

El siguiente diagrama de Venn ilustra la uníon de conjuntos:

Ejemplo:

Si \(A=\{1,2,3,4\}\) y \(B=\{3,4,5,6\}\), entonces \(A \cup B = \{1,2,3,4, 5, 6\}\).

Nótese que los elementos de los conjuntos que se repiten solo se colocan una sola vez.

Por otro lado, la intersección de dos conjuntos \(A\) y \(B\) que se lee "A intersectada con B", "A intersección B" o "A inter B", es el conjunto:

\(A \cap B = \{x: x \in A \quad \text{y} \quad x \in B\}\)

Es decir, la intersección de \(A\) y \(B\) es el conjunto formado por los elementos que están en \(A\) y en \(B\) simultáneamente.

Ejemplo:

Si \(A=\{1,2,3,4\}\) y \(B=\{3,4,5,6\}\), entonces \(A \cap B = \{3,4\}\).

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